L'univers observable est la portion de l'univers que nous pouvons observer, compte tenu de la limite de la vitesse de la lumière. Des objets situés très loin ne peuvent pas être vus pour une raison très simple : la lumière qu'ils émettent n'a pas eu le temps de nous parvenir. La distance maximale à laquelle nous pouvons voir des objets (sans tenir compte d'éventuelles limitations techniques) dépend de l'âge de l'univers. S'il faut un temps supérieur à l'âge de l'univers pour nous parvenir, il nous est actuellement impossible de les voir, ce qui n'est pas le cas pour des objets situés plus près. Cette distance maximale est donc le rayon de l'univers observable. L'ensemble des points situés à la distance maximale des objets observables, à savoir la surface de l'univers observable, porte un nom : c'est l'horizon cosmologique.

Le rayon de l'univers observable

Le rayon de Hubble n'est malheureusement pas une bonne estimation du rayon de l'univers observable, pas plus que le temps de Hubble ne donne l'âge de l'univers. Pour calculer ces deux valeurs, il faut utiliser des développements mathématiques différents. Le calcul du rayon cosmologique actuel est assez simple sur le principe, mais compliqué en pratique. Une méthode assez simple se base sur la vitesse d'éloignement de l'horizon, à savoir la vitesse à laquelle l'horizon cosmologique s'éloigne de nous. Une fois cette vitesse connue, il suffit de l'intégrer sur l'âge de l'univers.

La vitesse d'éloignement du rayon observable est définie par :

${\displaystyle v(t)={\frac {dr(t)}{dt}}}$, avec ${\displaystyle r(t)}$ le rayon de l'univers à l'instant t.

On réutilise l'équation du chapitre précédent, qui donne la vitesse en fonction de la distance: ${\displaystyle v(t)=v(t_{0})a(t)+x(t_{0})\cdot H(t)}$. Dans le cas de l'horizon cosmologique, la distance est égale au rayon de l'univers et la vitesse locale est égale à la vitesse de la lumière, ce qui donne :

${\displaystyle {\frac {dr(t)}{dt}}=c+H(t)\times r(t)}$

On peut reformuler le tout en divisant par ${\displaystyle r(t)}$, ce qui donne :

${\displaystyle {\frac {r'(t)}{r(t)}}={\frac {c}{r(t)}}+H(t)}$

On peut alors intégrer cette expression sur l'âge de l'univers pour obtenir le rayon de l'horizon cosmologique, du moins dans certaines conditions. Faire les calculs demande de connaître la loi d'évolution du facteur de Hubble ${\displaystyle H(t)=...}$. Mais dans les faits, elle nous est inconnue et on n'en a que quelques bribes. La théorie ne nous est pas d'un grand secours et le seul cas que l'on peut calculer simplement est celui où le facteur de Hubble est constant. En général, les modèles cosmologiques les plus simples supposent que le facteur d'échelle suit une loi de puissance, de type ${\displaystyle a(t)=a_{0}\cdot (t/t_{0})^{\beta }}$, ce qui fait que l'équation peut se résoudre avec quelques développements analytiques. Mais des modèles plus réalistes ne suivent pas vraiment une loi de puissance, ce qui complique les calculs. Pour nous éviter de longs calculs fastidieux, nous allons étudier le cas général, en utilisant quelques raisonnements astucieux.

Le rayon comobile de l'univers observable

Une autre façon de faire les calculs est de passer par l'intermédiaire du rayon comobile. Pour rappel, ce rayon comobile est le rayon corrigé de l'influence du facteur d'échelle (et donc de l'expansion). Il vaut, par définition : ${\displaystyle r(t) \over a(t)}$.

La vitesse comobile est la dérivée de ce rayon comobile, qui est égale à :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {r(t)}{a(t)}}\right)={\frac {r(t)'}{a(t)}}-{\frac {r(t)\cdot a(t)'}{a(t)^{2}}}={\frac {r(t)'}{a(t)}}-H(t){\frac {r(t)}{a(t)}}}$

On peut alors factoriser le rayon comobile ${\displaystyle r(t) \over a(t)}$ :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {r(t)}{a(t)}}\right)={\frac {r(t)}{a(t)}}\left[{\frac {r(t)'}{a(t)}}{\frac {a(t)}{r(t)}}-H(t)\right]}$

On simplifie :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {r(t)}{a(t)}}\right)={\frac {r(t)}{a(t)}}\left[{\frac {r(t)'}{r(t)}}-H(t)\right]}$

En injectant l'équation ${\displaystyle {\frac {r(t)'}{r(t)}}={\frac {c}{r(t)}}+H(t)}$ dans la précédente, on a :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {r(t)}{a(t)}}\right)={\frac {r(t)}{a(t)}}\left[{\frac {c}{r(t)}}+H(t)-H(t)\right]}$

En développant, on trouve :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {r(t)}{a(t)}}\right)={\frac {c}{a(t)}}}$

On voit que la dérivée est égale à ce qu'on appelle la vitesse comobile de la lumière. Par définition, la vitesse de la lumière est de ${\displaystyle c=299792,458Km/S}$, mais il s'agit d'une vitesse propre. On peut calculer sa vitesse comobile en divisant par le facteur d'échelle, ce qui n'est autre que le premier terme de l'équation précédente. ${\displaystyle c_{com}={c \over a}}$. En intégrant l'équation précédente sur l'âge de l'univers, on a la distance comobile de l'horizon, celle à laquelle se situait l'horizon cosmologique quand la lumière de l'horizon a été émise. On se retrouve alors avec une équation très générale, qui marche même quand le facteur de Hubble est variable.

Seule la vitesse comobile de la lumière devant être prise en compte. On trouve alors que le rayon comobile se calcule avec la formule suivante, avec ${\displaystyle t_{u}}$ l'âge de l'univers :

${\displaystyle {\frac {r(t)}{a(t)}}=\int _{0}^{t_{u}}{c \over a(t)}dt=c\int _{0}^{t_{u}}{dt \over a(t)}}$

Il est possible de simplifier fortement la formule précédente en faisant intervenir une variable particulière, appelée le temps conforme, définie par ${\displaystyle \eta ={\frac {dt}{a(t)}}}$. On peut voir ce temps conforme comme l'équivalent de la distance comobile, mais pour les durées. Il n'a pas vraiment d'interprétation physique digne de ce nom et sert plus d'intermédiaire pour les calculs. Avec le temps conforme, la formule précédente devient alors :

${\displaystyle {\frac {r(t)}{a(t)}}=c\cdot (\eta _{0}-\eta _{t_{u}})}$

On peut voir la formule précédente comme la généralisation de la formule ${\displaystyle D=c\cdot \Delta T}$, mais où le temps est remplacé par le temps conforme.

Le rayon actuel de l'univers observable

On peut obtenir la distance propre par un calcul très simple, à partir de la distance comobile. Le passage de la distance comobile à la distance propre se fait simplement en multipliant par ${\displaystyle a(t)}$. On obtient alors la distance propre suivante :

${\displaystyle r(t)=a(t)\cdot \int _{0}^{t_{u}}{c \over a(t)}dt}$

Dans l'équation précédente, on peut factoriser la vitesse de la lumière, ce qui donne :

${\displaystyle r(t)=c\cdot \left[a(t)\cdot \int _{0}^{t_{u}}{1 \over a(t)}dt\right]}$

Comme pour le rayon comobile, on peut voir la formule précédente comme la généralisation de la formule ${\displaystyle D=c\cdot \Delta T}$, mais où la durée ${\displaystyle \Delta T}$ est remplacée par la valeur temporelle ${\displaystyle \left[a(t)\cdot \int _{0}^{t_{u}}{1 \over a(t)}dt\right]}$.

Les intégrales précédentes ne sont pas solubles telles quelles. Il faut préciser comment le facteur d'échelle évolue avec le temps, sans quoi les intégrales ne peuvent pas être calculées exactement. Manque de chance, la loi d'évolution du facteur d'échelle nous est inconnue. Nous sommes obligés de postuler des fonctions particulières, en espérant qu'elles collent au mieux aux observations. Nous ferons cela plus en détail dans le chapitre sur les modèles cosmologiques.

Au passage, le facteur de décélération est relié au rayon de l'univers observable de la manière suivante :

${\displaystyle {\frac {dR_{h}}{dt}}=c\times (q+1)}$