Rappel : la relation énergie-température pour un gaz parfait

La température d'un gaz parfait est la somme des énergies cinétiques de chaque particule. La physique statistique nous donnent des formules pour relier la température et l'énergie cinétique moyenne d'une particule du gaz. Les formules en question dépendent du gaz, mais elles prennent toutes la forme d'une équation de la forme :

${\displaystyle E=k\cdot N\cdot k_{B}T}$, avec ${\displaystyle k}$ un coefficient constant.

Le coefficient ${\displaystyle k}$ est appelé la capacité calorifique spécifique à volume constant. C'est l'énergie qu'il faut pour augmenter d'un degré la température du gaz, en considérant que son volume et sa masse sont constantes.

Si on suppose que N est constant, la dérivée de l'équation précédente donne :

${\displaystyle dE=k\cdot N\cdot k_{B}\cdot d(T)}$

En divisant par le produit ${\displaystyle PV}$, on trouve :

${\displaystyle {\frac {dE}{PV}}=k\cdot {\frac {N\cdot k_{B}}{PV}}\cdot d(T)}$

L'équation ${\displaystyle {\frac {1}{T}}={\frac {k_{B}\cdot N}{PV}}}$ nous permet de faire un remplacement :

${\displaystyle {\frac {dE}{PV}}=k\cdot {\frac {d(T)}{T}}}$

La relation entre température et facteur d'échelle

La matière cosmologique est soumise à la première loi de la thermodynamique, à savoir la fameuse conservation de l'énergie qui dit que l'énergie de l'univers est constante. La loi de conservation de l'univers se formule assez aisément en thermodynamique, surtout pour un gaz parfait. Pour un gaz parfait, la conservation de l'énergie s'écrit comme suit :

${\displaystyle dE=-PdV}$

On divise par le produit ${\displaystyle PV}$

${\displaystyle {\frac {dE}{PV}}=-{\frac {dV}{V}}}$

On utilise l'équation ${\displaystyle {\frac {dE}{PV}}=k\cdot {\frac {d(T)}{T}}}$, ce qui donne :

${\displaystyle k\cdot {\frac {d(T)}{T}}=-{\frac {dV}{V}}}$

On utilise alors la relation ${\displaystyle {\frac {dV}{V}}=3{\frac {da}{a}}}$ :

${\displaystyle k\cdot {\frac {d(T)}{T}}=-3\cdot {\frac {da}{a}}}$

Utilisons la formule ${\displaystyle {\frac {dx}{x}}=\ln x+cst}$ :

${\displaystyle k\cdot \ln {T}+C_{1}=-3\cdot \ln {a}+C_{2}}$

On note ${\displaystyle C_{0}=C_{2}-C_{1}}$ et on réorganise les termes constants :

${\displaystyle k\cdot \ln {T}=-3\cdot \ln {a}+C_{0}}$

On applique la formule ${\displaystyle a\cdot \ln {x}=\ln {x^{a}}}$ :

${\displaystyle \ln {T^{k}}=\ln {a^{-3}}+C_{0}}$

On prend l'exponentielle des deux côtés :

${\displaystyle T^{k}=\exp \left(\ln {a^{-3}}+C_{0}\right)}$

L'exponentielle d'une somme est le produit des exponentielles (${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}\cdot e^{b}}$) :

${\displaystyle T^{k}=e^{C_{0}}\cdot a^{-3}}$

On pose : ${\displaystyle T_{0}=e^{C_{0}}}$

${\displaystyle T^{k}=T_{0}\cdot a^{-3}}$

Ce qui donne, après simplifications :

${\displaystyle T=T_{0}\cdot a^{-{\frac {3}{k}}}}$

Ou encore :

${\displaystyle T\propto a^{-{\frac {3}{k}}}}$

Pour un gaz monoatomique, on a ${\displaystyle k={\frac {3}{2}}}$, ce qui fait que la température de la matière varie donc comme l'inverse du carré du facteur d'échelle :

${\displaystyle T\propto {\frac {1}{a^{2}}}}$

La relation entre pression et facteur d'échelle

La pression d'un gaz parfait se calcule à partir de la loi des gaz parfaits ${\displaystyle PV=N\cdot k_{B}T}$ :

${\displaystyle P={\frac {N\cdot k_{B}T}{V}}}$

On peut calculer comment la pression évolue avec le facteur d'échelle assez simplement. Premièrement, nous allons supposer que le nombre de particules est constant, pour nous simplifier la tâche. On sait que la température et la pression dépendent toutes deux du facteur d'échelle, ce qui donne :

${\displaystyle P(a)=N\cdot k_{B}\cdot {\frac {T(a)}{V(a)}}}$

On sait que le volume varie comme le cube du facteur d'échelle (${\displaystyle V(t)=V_{0}\cdot a(t)^{3}}$), ce qui donne :

${\displaystyle P(a)=N\cdot k_{B}\cdot {\frac {T(a)}{V_{0}}}{\frac {1}{a(t)^{3}}}}$

On utilise ensuite la formule ${\displaystyle T=T_{0}\cdot a^{-{\frac {3}{k}}}}$ vue plus haut :

${\displaystyle P(a)=N\cdot k_{B}\cdot {\frac {T_{0}}{V_{0}}}{\frac {a^{-{\frac {3}{k}}}}{a(t)^{3}}}}$

Par définition, le terme ${\displaystyle N\cdot k_{B}\cdot {\frac {T_{0}}{V_{0}}}}$ est la pression quand le facteur d'échelle est égal à 1. Nous la notons ${\displaystyle P_{0}}$, ce qui donne :

${\displaystyle P(a)=P_{0}{\frac {a^{-{\frac {3}{k}}}}{a(t)^{3}}}}$

Le tout se simplifie en :

${\displaystyle P(a)\propto a^{-3{\frac {k+1}{k}}}}$

La densité de particule

La densité de particules, notée ${\displaystyle \epsilon }$, correspond au nombre de particules par unité de volume. Si on note V un volume et N le nombre de particules qu'il y a dedans, on a donc :

${\displaystyle \epsilon ={\frac {n}{V}}}$

Vu que le volume de l'univers varie selon ${\displaystyle V=V_{0}\times a^{3}}$, la densité de particule varie donc comme :

${\displaystyle \epsilon ={\frac {n}{V_{0}}}\times {\frac {1}{a^{3}}}}$

La densité de particule est donc reliée au facteur d'échelle par l'équation

${\displaystyle \epsilon \propto {\frac {1}{a^{3}}}}$

La densité de matière

La densité (la masse volumique) est égale à la masse divisée par le volume, par définition. On a donc :

${\displaystyle \rho ={\frac {M}{V}}}$

En injectant la formule ${\displaystyle V=V_{0}\times {\frac {a(t)^{3}}{a(t_{0})}}}$, on trouve :

${\displaystyle \rho (t)={\frac {M}{V_{0}}}\cdot {\frac {a(t_{0})}{a(t)^{3}}}}$

Ce qui peut se reformuler comme suit :

${\displaystyle \rho (t)=\rho _{(}t_{0}){\frac {a(t_{0})}{a(t)^{3}}}}$

Ce qui s'écrit aussi :

${\displaystyle \rho (t)\propto {\frac {1}{a(t)^{3}}}}$

Le même raisonnement peut s'appliquer pour l'énergie. Il suffit de remplacer la masse par l'énergie et les équations précédentes et l'on obtient le même résultat pour la densité d'énergie.

Cette équation sera réutilisée plus tard dans le cours, quand nous analyserons les modèles cosmologiques de Friedmann. Il faut cependant signaler que la densité d'énergie du rayonnement ne suit pas la même équation, comme nous le verrons dans le prochain chapitre.