Coordonnées cylindriques
Une fois déterminé le tenseur métrique, il est facile de calculer le gradient, la divergence, le laplacien, le rotationnel, le symbole de Christoffel.
ATTENTION, par rapport à l'article Wikipedia:Coordonnées polaires, on utilise ici la lettre à la place de la lettre . Voir une page sur les conflits de notations.
Tenseur métrique
En coordonnées cylindriques , le carré d'un élément de longueur vaut et donc le tenseur métrique vaut
La racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut .
La matrice inverse du tenseur métrique vaut
- Base naturelle et base orthonormée
Puisque le tenseur métrique en coordonnées cylindriques est diagonal, la base naturelle est orthogonale et la base orthonormée s'écrit .
Symbole de Christoffel
Le seul terme non constant du tenseur métrique en coordonnées cylindriques est , et l'on a . Les éléments non nuls du symbole de Christoffel fonction du tenseur métrique sont donc peu nombreux
Gradient
Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées cylindriques, le gradient d'un champ scalaire s'écrit
Soit, dans la base orthonormée,
Divergence
En coordonnées cylindriques, la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut r et la divergence d'un champ de vecteurs s'écrit .
Dans la base naturelle, on a
et donc dans la base orthonormée :
Laplacien
Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées cylindriques,
- pour un champ scalaire , le laplacien
s'écrit
- pour un champ vectoriel
...À RÉDIGER...
Rotationnel
Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées cylindriques/Rotationnel
Tenseur de courbure
Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées cylindriques/Tenseur de courbure
Tenseur de Ricci
Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées cylindriques/Tenseur de Ricci
Coordonnées sphériques
Une fois déterminé le tenseur métrique, il est facile de calculer le gradient, la divergence, le laplacien, le rotationnel, le symbole de Christoffel.
ATTENTION, par rapport à l'article Wikipedia:Coordonnées polaires, on utilise échange ici les symboles et , et on utilise la colatitude à la place de la latitude . Voir une page sur les conflits de notations.
Tenseur métrique
En coordonnées sphériques , où est l'angle azimutal et est la colatitude, le carré d'un élément de longueur vaut et donc le tenseur métrique vaut
La racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut .
L'inverse du tenseur métrique vaut
- Base naturelle et base orthonormée
Puisque le tenseur métrique en coordonnées cylindriques est diagonal, la base naturelle est orthogonale et la base orthonormée s'écrit .
Symbole de Christoffel
Les seuls termes non constants du tenseur métrique en coordonnées sphériques sont , , et l'on a , , . Les éléments non nuls du symbole de Christoffel fonction du tenseur métrique sont donc peu nombreux
Gradient
Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées sphériques, le gradient d'un champ scalaire s'écrit
Soit, dans la base orthonormée
Divergence
En coordonnées sphériques, la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut et la divergence d'un champ de vecteurs s'écrit .
Dans la base naturelle, on a
et donc dans la base orthonormée :
Laplacien
Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées sphériques,
- pour un champ scalaire , le laplacien
s'écrit
- pour un champ vectoriel
...À RÉDIGER...
Rotationnel
Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées sphériques/Rotationnel
Tenseur de courbure
Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées sphériques/Tenseur de courbure
Tenseur de Ricci
Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées sphériques/Tenseur de Ricci