équations de Maxwell, formules topologiques

Les équations de Maxwell peuvent être écrites dans tout système de coordonnées sous la forme

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{ik}{}_{;i}=0^{k}}$

${\displaystyle {G_{}}^{ik}{}_{;i}=0^{k}}$

où ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{ik}}$ et ${\displaystyle {G_{}}^{ik}}$ sont des tenseurs antisymétriques décrivant le champ électromagnétique. La première équation correspond au premier groupe des équations de Maxwell et la seconde équation correspond au second groupe. Le tenseur ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{ik}}$ est le tenseur dual du tenseur ${\displaystyle {F_{}}_{ik}}$ de composantes ${\displaystyle \mathbf {E} ,\mathbf {B} }$ :

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{ik}={\frac {1}{2}}\;*^{iklm}F_{lm}}$

Le tenseur ${\displaystyle {G_{}}^{ik}}$ contient à la fois le tenseur antisymétrique de composantes ${\displaystyle \mathbf {-D} ,\mathbf {H} }$, les charges et les courants.

Ces équations ne sont rien de plus que des équations topologiques affirmant que le flux du champ électromagnétique à travers une hypersurface fermée de l'espace temps quadridimensionnel est nul. Il manque les équations constitutives reliant les deux tenseurs.

quadrivecteur charge-courant

Les expériences physiques montrent que le champ électromagnétique est linéaire, à condition d'éliminer ou de figer les charges. Cela nous conduit à écrire ${\displaystyle {G}^{ik}}$ comme somme d'un terme linéaire ${\displaystyle {G_{L}}^{ik}}$ et d'un terme non linéaire ${\displaystyle {G_{NL}}^{ik}}$ :

${\displaystyle {G}^{ik}={G_{L}}^{ik}+{G_{NL}}^{ik}}$.

En définissant le quadrivecteur charge-courant comme la quadri-divergence de la partie non linéaire du tenseur ${\displaystyle {G}^{ik}=}$ :

${\displaystyle {j}^{k}={G_{NL}}^{ik}{}_{;i}}$

et l'équation correspondant au second groupe des équations de Maxwell devient

${\displaystyle {G_{L}}^{ik}{}_{;i}=-j^{k}}$

Comme la double dérivée covariante d'un tenseur antisymétrique est nulle, on a ${\displaystyle {G_{L}}^{ik}{}_{;i;k}=0}$ et donc

${\displaystyle j^{k}{}_{;k}=0}$

Cette équation correspond à la loi de conservation de la charge.

équation constitutive du vide

L'équation constitutive reliant la partie linéaire de ${\displaystyle {G}^{ij}}$ et ${\displaystyle {F}_{ik}}$ est simplement

${\displaystyle {G_{L}}^{ik}={\frac {1}{\mu _{0}}}F^{ik}}$

avec ${\displaystyle \mu _{0}=4\pi 10^{-7}}$ (SI).

écriture traditionnelle des équations de Maxwell

Le second groupe d'équations de Maxwell peut finalement s'écrire sous la forme traditionnelle

${\displaystyle {F_{}}^{ik}{}_{;i}=-\mu _{0}j^{k}}$

Avec le même tenseur ${\displaystyle {F_{}}^{ik}}$, le premier groupe s'écrit

${\displaystyle *^{ik}{}_{lm}{F_{}}^{lm}{}_{;i}=*^{iklm}F_{lm}{}_{;i}=0^{k}}$

expression des tenseurs électromagnétiques

Pour un tenseur métrique diagonal ${\displaystyle (-c^{2},1,1,1)}$, les tenseurs électromagnétiques s'écrivent

${\displaystyle F_{ik}={\begin{pmatrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&B_{z}&-B_{y}\\E_{y}&-B_{z}&0&B_{x}\\E_{z}&B_{y}&-B_{x}&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle F^{ik}={\begin{pmatrix}0&E_{x}/c^{2}&E_{y}/c^{2}&E_{z}/c^{2}\\-E_{x}/c^{2}&0&B_{z}&-B_{y}\\-E_{y}/c^{2}&-B_{z}&0&B_{x}\\-E_{z}/c^{2}&B_{y}&-B_{x}&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {G_{L}}^{ik}={\begin{pmatrix}0&D_{x}&D_{y}&D_{z}\\-D_{x}&0&H_{z}&-H_{y}\\-D_{y}&-H_{z}&0&H_{x}\\-D_{z}&H_{y}&-H_{x}&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle ic{\mathcal {F}}^{ik}={\begin{pmatrix}0&B_{x}&B_{y}&B_{z}\\-B_{x}&0&-E_{z}&E_{y}\\-B_{y}&E_{z}&0&-E_{x}\\-B_{z}&-E_{y}&E_{x}&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {G_{L}}_{ik}={\begin{pmatrix}0&-c^{2}D_{x}&c^{2}D_{y}&c^{2}D_{z}\\c^{2}D_{x}&0&H_{z}&-H_{y}\\c^{2}D_{y}&-H_{z}&0&H_{x}\\c^{2}D_{z}&H_{y}&-H_{x}&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle ic{{\mathcal {G}}_{L}}^{ik}={\begin{pmatrix}0&H_{x}&H_{y}&H_{z}\\-H_{x}&0&-c^{2}D_{z}&c^{2}D_{y}\\-H_{y}&c^{2}D_{z}&0&-c^{2}D_{x}\\-H_{z}&-c^{2}D_{y}&c^{2}D_{x}&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle j^{k}={\begin{pmatrix}\rho &j_{x}&j_{y}&j_{z}\end{pmatrix}}}$