Problème de Cauchy

Méthode d'Euler explicite ou schéma progressif

Le schéma d’Euler progressif est un schéma explicite, car il permet de calculer ${\displaystyle u_{n+1}}$ en fonction de ${\displaystyle u_{n}}$ explicitement : ${\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+h\cdot f(t_{n},u_{n})}$

Méthode d'Euler implicite ou schéma rétrograde

Le schéma d’Euler rétrograde est un schéma implicite, car ${\displaystyle u_{n+1}}$ est défini implicitement en fonction de ${\displaystyle u_{n}}$ : ${\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+h\cdot f(t_{n+1},u_{n+1})}$

En général, il faut donc résoudre une équation non-linéaire à chaque pas de temps. La méthode de Newton est souvent utilisée pour cela.

Méthode de Cranck-Nicolson

Un autre schéma de résolution qui offre une bonne convergence : ${\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+{\frac {h}{2}}\cdot [f(t_{n},u_{n})+f(t_{n+1},u_{n+1})]}$

Méthode de Heun

Une spécialisation du schéma de Cranck-Nicolson dans lequel on explicite ${\displaystyle u_{n+1}}$ comme dans la méthode d'Euler explicite ${\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+h\cdot f(t_{n},u_{n})}$ :

${\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+{\frac {h}{2}}\cdot [f(t_{n},u_{n})+f(t_{n+1},u_{n}+h\cdot f(t_{n},u_{n}))]}$