• ${\displaystyle A}$ est une constante. Calculer les dérivées des fonctions suivantes : ${\displaystyle f(x)=Ax,g(x)=Ax^{2}/2,h(x)=Ax^{3}/3}$

${\displaystyle f'(x)=A,g'(x)=Ax,h'(x)=Ax^{2}}$

• Calculer ${\displaystyle \int _{0}^{b}Adx}$

D'après le théorème fondamental de l'analyse :

${\displaystyle \int _{0}^{b}Adx=\int _{0}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(0)=Ab}$

C'est l'aire d'un rectangle de hauteur ${\displaystyle A}$ et de largeur ${\displaystyle b}$

• Calculer ${\displaystyle \int _{0}^{b}Axdx}$

${\displaystyle \int _{0}^{b}Axdx=\int _{0}^{b}g'(x)dx=g(b)-g(0)=Ab^{2}/2}$

Pour ${\displaystyle A=1}$, ${\displaystyle \int _{0}^{b}xdx=b^{2}/2}$ est l'aire d'un demi-carré de côté ${\displaystyle b}$

Comme ${\displaystyle f(x)=x}$ représente la droite qui s'élève à 45 degrés au-dessus de l'axe horizontal, elle est la diagonale des carrés portés par les axes et l'aire située sous elle entre ${\displaystyle x=0}$ et ${\displaystyle x=b}$ est un demi-carré de côté ${\displaystyle b}$

• Calculer ${\displaystyle \int _{0}^{b}Ax^{2}dx}$

${\displaystyle \int _{0}^{b}Ax^{2}dx=\int _{0}^{b}h'(x)dx=h(b)-h(0)=Ab^{3}/3}$