Exemples

${\displaystyle u_{n}=(-1)^{n}}$
${\displaystyle S_{n}=1+(-1)+1+(-1)+...+(-1)^{n}}$
Pour n pair, ${\displaystyle S_{n}}$ vaut 1, pour n impair, ${\displaystyle S_{n}}$ vaut 0.
La série ${\displaystyle \Sigma (-1)^{n}}$ est donc divergente.

Condition nécessaire

Si une série de terme général ${\displaystyle u_{n}}$ converge, alors ${\displaystyle u_{n}}$ a pour limite 0 quand n tend vers l'infini.

C'est une condition nécessaire mais non suffisante. Un exemple classique de série divergente de terme général vérifiant cette condition est la série harmonique : ${\displaystyle u_{n}=1/n}$.

En effet ${\displaystyle S_{n}=1+1/2+...+1/n}$ et ${\displaystyle S_{2n}=1+1/2+...+1/n+...+1/2n}$.
D'où ${\displaystyle S_{2n}-S_{n}=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n>n/2n}$ et ${\displaystyle S_{2n}-S_{n}>1/2}$
Supposons que la série converge, alors ${\displaystyle S_{n}}$ et ${\displaystyle S_{2n}}$ admettent une même limite S et ${\displaystyle S_{2n}-S_{n}=0}$ lorsque n tend vers l'infini. Ce qui est en contradiction avec ${\displaystyle S_{2n}-S_{n}>1/2}$, donc la série diverge.