Définitions de base

Soient E et F deux ensembles.

On appelle graphe de E vers F toutes parties de ${\displaystyle E\times F}$. On appelle correspondance de E vers F le triplet ${\displaystyle (\Gamma ,E,F)}$, où ${\displaystyle \Gamma }$ est un graphe de E vers F, E l'ensemble de départ et F l'ensemble d'arrivée.

On nomme ensemble de définition de la correspondance l'ensemble : ${\displaystyle \left\{{x|x\in E\;{\rm {et}}\exists y,(x,y)\in \Gamma }\right\}}$ Cet ensemble est vide si, et seulement si, ${\displaystyle \Gamma }$ est vide.

On appelle graphe fonctionnel de E vers F, tout graphe ${\displaystyle \Gamma }$ de E vers F, vérifiant la relation suivante : ${\displaystyle \forall x\in E,\left\{{y|y\in F\;{\rm {et}}(x,y)\in \Gamma }\right\}=\emptyset {\rm {ou}}\left\{a\right\}}$

On appelle application, ou fonction, de E vers F, toute correspondance de E vers F dont le graphe est un graphe fonctionnel et dont E est le domaine de définition

On écrira par convention : ${\displaystyle f:E\to F}$. L'ensemble ${\displaystyle f(E)}$ est appelé image de f, noté également ${\displaystyle Imf}$. ATTENTION : il ne faut pas confondre ${\displaystyle f(x)}$ qui est un élément de F, et ${\displaystyle f}$ élément de ${\displaystyle E\times F}$

Application composée

Soit E,F,G des ensembles et ${\displaystyle f:E\to F}$, ${\displaystyle g:F\to G}$. On appelle composée des applications g et f, et on note ${\displaystyle g\circ f}$, l'application ${\displaystyle h:E\to G}$, telle que ${\displaystyle h(x)=g(f(x))}$ pour tout ${\displaystyle x\in E}$. La composition est associative d'où : ${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)}$. On note alors ${\displaystyle h\circ g\circ f}$

Caractéristiques

Soit ${\displaystyle f:E\to F}$ une application.

1) f est injective si et seulement si ${\displaystyle \forall x\in E,\forall y\in E,x\neq y\Rightarrow f(x)\neq f(y)}$

2) f est surjective si et seulement si ${\displaystyle \forall y\in F,\exists x\in E,f(x)=y}$

3) f est bijective si 1) et 2) sont vérifié

On parle éventuellement de permutation de E pour une bijection lorsque l'ensemble est fini.