Équation sans second membre

${\displaystyle xy'-y=0\,}$
${\displaystyle xy'=y\,}$
${\displaystyle y'/y=1/x\,}$
${\displaystyle ln|y|=ln|x|+k\,}$
${\displaystyle y(x)=exp(ln|x|+k)\,}$
${\displaystyle y(x)=Kx\,}$ (avec K = K1 si x>0 ou K = -K1 si x<0) avec ${\displaystyle K=exp(k)\,}$

Exercices

Résoudre ${\displaystyle xy'+2y=0\,}$

Équation avec second membre

${\displaystyle (x+1)y'+2y=1/(x+2)\,}$ (que l'on nomme (1))

• On y associe une équation sans second membre : ${\displaystyle (x+1)y'+2y=0\,}$ (que l'on nomme (0))
• La solution générale de (1) s'obtient en ajoutant la solution générale de (0) à la solution particulière de (1).
• On résoud l'équation sans second membre (0). Cela donne la solution générale de (0).

${\displaystyle (x+1)y'+2y=0\,}$
${\displaystyle (x+1)y'=-2y\,}$
${\displaystyle y'/y=-2/(x+1)\,}$
${\displaystyle ln(y)=-2ln(x+1)+k\,}$
${\displaystyle y(x)=exp(-2ln(x+1))exp(k)\,}$
${\displaystyle y(x)=K\times 1/(x+1)^{2}\,}$

• On cherche la solution particulière de (1). Pour cela on fait varier la constante K. ${\displaystyle K\Rightarrow K(x)}$. Ainsi ${\displaystyle y(x)=K(x)\times 1/(x+1)^{2}\,}$ et ${\displaystyle y'(x)=K'(x)\times 1/(x+1)^{2}+K(x)\times (-2/(x+1)^{3})\,}$.
  On insère dans (1).
  ${\displaystyle (x+1)[K'(x)\times 1/(x+1)^{2}+K(x)\times (-2/(x+1)^{3})]+2K(x)\times 1/(x+1)^{2}=1/(x+2)\,}$
  ${\displaystyle K'(x)\times 1/(x+1)=1/(x+2)\,}$
  ${\displaystyle K'(x)=(x+1)/(x+2)\,}$
  or ${\displaystyle (x+1)=(x+2)-1\,}$
  ainsi ${\displaystyle K'(x)=(x+2)/(x+2)-1/(x+2)\,}$
  ${\displaystyle K(x)=x-ln(x+2)+k\,}$
  
• La solution particulière de (1) est ${\displaystyle Yp(x)=(x-ln(x+2))/(x+1)^{2}\,}$ et la solution générale de (1) est la somme de la solution générale de (0) et de la solution particulière de (1) soit ${\displaystyle Y(x)=K/(x+1)^{2}+(x-ln(x+2))/(x+1)^{2}\,}$

Résolution

• On divise par ${\displaystyle y^{n}\,}$
  ${\displaystyle A(x)y'y^{-n}+B(x)y^{1-n}=C(x)\,}$
  On pose ${\displaystyle z(x)=y^{1-n}\,}$
  Ainsi ${\displaystyle z'(x)=(1-n)y^{-n}y'\,}$
  On obtient ${\displaystyle (A(x)z'(x))/(1-n)+B(z)z(x)=C(x)\,}$que l'on peut résoudre. On revient ensuite à la fonction ${\displaystyle y(x)=(z(x))^{(}1/(1-n))\,}$.

Exemple : ${\displaystyle xy'+y=y^{3}\,}$ (ici y_n = y₃).

• On divise par y₃. Ainsi ${\displaystyle x\times y'/y^{3}+y/y^{3}=1\,}$ ou ${\displaystyle xy'y^{-3}+y^{-2}=1\,}$.
  On pose ${\displaystyle z(x)=y^{-2}\,}$ et ${\displaystyle z'(x)=-2y^{-3}y'\,}$ et on effectue le changement ${\displaystyle x/-2\times z'(x)+z(x)=1\,}$
• On résoud l'équation sans second membre : ${\displaystyle x/-2\times z'(x)+z(x)=0\,}$
  ${\displaystyle z'(x)=2/x\times z(x)\,}$
  ${\displaystyle z'(x)/z(x)=2/x\,}$
  ${\displaystyle ln(z(x))=2ln(x)+k\,}$
  ${\displaystyle z(x)=exp(ln(x^{2})+k)=Kexp(x^{2})\,}$ avec ${\displaystyle K=exp(k)\,}$
• On fait varier la constante K, ${\displaystyle K\Rightarrow K(x)\,}$
  ${\displaystyle z(x)=K(x)\times x^{2}}$ et ${\displaystyle z'(x)=K'(x)x^{2}+2K(x)\,}$
  On insère dans (1): ${\displaystyle x/-2[K'(x)x^{2}+2K(x)x]+K(x)x^{2}=1\,}$
  ${\displaystyle -1/2\times K'(x)x^{3}-K(x)x^{2}+K(x)x^{2}=1\,}$
  ${\displaystyle K'(x)=-2x^{-3}}$
  ${\displaystyle K(x)=x^{-2}+C\,}$
  Ainsi ${\displaystyle z(x)=(-2x^{-2}+2)x^{2}\,}$
  ${\displaystyle z(x)=1+Cx^{2}\,}$
  ${\displaystyle z(x)=1/y^{2}\Rightarrow y^{2}=1/z=1/(1+Cx^{2})\,}$
  Si ${\displaystyle 1+Cx^{2}>0\,}$alors ${\displaystyle y(x)=\pm 1/{\sqrt {1+Cx^{2}}}\,}$