Application linéaire

L'application ${\displaystyle u\in {F}^{E}}$ est dite linéaire si et seulement si

${\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2},\;u(x+y)=u(x)+u(y),}$

et

${\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {K} ,\;\forall x\in E,\;u(\lambda x)=\lambda u(x).}$

On note ${\displaystyle {\mathcal {L}}(E,F)}$ l'ensemble des applications linéaires de ${\displaystyle E}$ vers ${\displaystyle F}$.

Endomorphisme

Un endomorphisme est une application linéaire dont l'ensemble d'arrivée est égal à l'ensemble de départ.

L'ensemble des endomorphismes de ${\displaystyle E}$ se note ${\displaystyle {\mathcal {L}}(E,E)}$.

Isomorphisme

Un isomorphisme est une application linéaire bijective. Cela se traduit par :

${\displaystyle \forall y\in F,!\exists x\in E/f(x)=y}$

Autrement dit, tout élément ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle F}$ admet un antécédent et un seul dans ${\displaystyle E}$ par ${\displaystyle f}$.

Automorphisme

Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.

Forme linéaire

Une forme linéaire est une application linéaire dont l'ensemble d'arrivée est le corps ${\displaystyle \mathbb {K} }$ (généralement, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} }$). Une forme linéaire est donc une application linéaire de ${\displaystyle {\mathcal {L}}(E,\mathbb {K} )}$.

Noyau

Soit ${\displaystyle f}$ une application linéaire de ${\displaystyle E}$ dans ${\displaystyle F}$. Le noyau de ${\displaystyle f}$, noté ${\displaystyle \operatorname {Ker} (f)}$, est l'ensemble des éléments de ${\displaystyle E}$ dont l'image par ${\displaystyle f}$ est l'élément nul de ${\displaystyle F}$. On écrit :

${\displaystyle \operatorname {Ker} (f)=\{x\in E|f(x)=0\}}$

Le noyau d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l'espace de départ : ${\displaystyle \operatorname {Ker} (f)}$ est un sev de ${\displaystyle E}$.

Image

L'image d'une application linéaire ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle E}$ dans ${\displaystyle F}$, noté ${\displaystyle \operatorname {Im} (f)}$, est l'ensemble des éléments de ${\displaystyle F}$ ayant un antécédent par ${\displaystyle f}$ dans ${\displaystyle E}$. On écrit :

${\displaystyle \operatorname {Im} (f)=\{y\in F,\exists x\in E|f(x)=y\}}$

L'image d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée : ${\displaystyle \operatorname {Im} (f)}$ est un sev de ${\displaystyle F}$.

Théorème du rang

Le théorème du rang lie la dimension de l'espace de départ d'une application linéaire aux dimensions du noyau et de l'image de cette application. On écrit :

${\displaystyle \operatorname {dim} (E)=\operatorname {dim} (\operatorname {Ker} (f))+\operatorname {dim} (\operatorname {Im} (f)),avec\operatorname {dim} (\operatorname {Im} (f))=\operatorname {rank} (f)}$