Définition

${\displaystyle \forall (a,b)\in \mathbb {N} ^{2}=>a+b\in \mathbb {N} }$

Démonstration

Nous allons démontrer que ${\displaystyle \forall (a,b)\in \mathbb {N} ^{2}}$ on a ${\displaystyle a+b\in \mathbb {N} }$

Fixons ${\displaystyle a}$ et recherchons l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {M} }$ des b qui respectent ${\displaystyle a+b\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle a+0=a}$ donc on a ${\displaystyle 0\in \mathbb {M} }$

de plus

${\displaystyle \forall b\in \mathbb {M} =>a+b\in \mathbb {N} =>S(a+b)\in \mathbb {N} =>a+S(b)\in \mathbb {N} =>S(b)\in \mathbb {N} }$

Les conditions du théorème de récurrence sont respectées sur ${\displaystyle \mathbb {M} }$. On peut donc en déduire ${\displaystyle \forall (a,b)\in \mathbb {N} ^{2}=>a+b\in \mathbb {N} }$

Définition

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